Flurin studierte bei Thomas Grossenbacher in Zürich, schloss sein Studium mit Auszeichnung ab und machte seinen Performance Master in Salzburg bei Clemens Hagen, ebenfalls mit Auszeichnung.

Während des Studiums erspielte sich Flurin diverse Wettbewerbspreise, etwa den 1. Preis am Cellowettbewerb Enrico Mainardi Salzburg oder den 1. Preis des Kiwanis- Wettbewerbs in Zürch. 2014 bis 2015 hatte er eine Ad-Interim-Stelle als Solocellist im Musikkollegium Winterthur inne.

Zentral ist für Flurin Cuonz die Kammermusik. Mit dem Trio Rafale tritt er seit 2008 international auf. Auch hier säumen Wettbewerbsgewinne wie 2011 in Melbourne und 2014 in Osaka seinen Weg.

Er spielt ein Violoncello von Peter Westermann aus dem Jahre 2003.